Differenzialgleichungen
Eine Differenzialgleichung ist eine Gleichung in der sowohl f als auch Ableitungen von f
(auch höhere) vorkommen.
Wachstumsprozesse können durch Differenzialgleichungen wiedergegeben werden.
Es gilt folgender Zusammenhang:
| für natürliches Wachstum
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für beschränktes Wachstum
|
Der Ausdruck (S-f(t)) wird Sättigungsmanko genannt.
In den Abi-Aufgaben wird das häufig wie folgt formuliert:
- Der aktuelle Bestand ist proportional zur momentanen Änderungsrate. → natürliches Wachstum.
- Der aktuelle Bestand ist proportional zum Sättigungsmanko. → beschränktes Wachstum
Die Herleitung von Differenzialgleichungen wird im Abi nicht verlangt. Sie müssen aber anhand eines vorgegebenen Wachstumsgesetzes feststellen können, um welche Art von Wachstum es sich handelt. Setzen Sie hierzu das Wachstumsgesetz in die DGL ein und testen Sie, ob diese erfüllt ist. Wenn ja, so handelt es sich um die betreffende Wachstumsform.
Rechenbeispiel
Beweise, dass es sich bei folgendem Wachstumsgesetz um natürliches Wachstum handelt: f(t)=2e0,1t.
Lösung
f(t)=2e0,1t ⇒ f'(t)=0,2e0,1t
Setze nun f und f' in die DGL für natürliches Wachstum ein und teste, ob die DGL erfüllt wird:f'(t)=k·f(t): 0,2e0,1t = 0,1·2e0,1t
Offenbar ist die DGL erfüllt und somit beschreibt f(t) tatsächlich natürliches Wachstum.Aufgabe
Eine Bakterienkultur hat zu Beginn der Beobachtung einen Bestand von 3.000 Bakterien. Nach 20 Stunden werden 50.000 Bakterien ergeben. Bei dieser Bakterienkultur ist die Vermehrungsrate proportional zum momentanen Bestand.
- Welche Art von Wachstumsprozess liegt vor?
- Wie lautet das Wachstumsgesetz?
- Nach welcher Zeit ist die Bakterienkultur auf 18.000 Bakterien angewachsen?
- Bestimme die Verdopplungszeit.
- Art des Wachstums
Aus der Formulierung "proportional zum momentanen Bestand" ist ersichtlich, dass es sich um natürliches Wachstum handelt.
- Wachstumsgesetz
Für natürliches Wachstum gilt f(t)=cekt.
c=3000, der Anfangsbestand, ist in der Aufgabe vorgegeben. Es fehlt nur noch die Wachstumskonstante k. Wegen f(20)=50000 kann man 50000=3000ek·20 jetzt nach k auflösen. Der GTR liefert k≈0,1407.
Ergebnis: Das Wachstumsgesetz lautet f(t)=3000e0,1407t.
- Zeitpunkt für 18.000 Bakterien
Löse den Ausdruck 18000=3000e0,1407t nach t auf und erhalte t≈12,73.
Ergebnis: Die Bakterienkultur ist nach etwa 12,7 Stunden auf 18.000 Bakterien angewachsen.
- Verdopplungszeit
Es gilt tV=ln(2)/k=ln(2)/0,1407≈4,927.
Ergebnis: Die Bakterienkultur verdoppelt sich etwa alle 5 Stunden.
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